算法:深度优先算法和广度优先算法

网友 来源: 网友投稿 2017-1-3 16:49 我要评论()

1.写在前面图的存储结构有两种:一种是基于二维数组的邻接矩阵表示法。另一种是基于链表的的邻接表。在邻接矩阵中,可以如下表示顶点和边连接关系:说明:将顶点对应为下标,根据横纵坐标将矩阵中的某一位置值设为1 ...

1.写在前面
图的存储结构有两种:一种是基于二维数组的邻接矩阵表示法。

另一种是基于链表的的邻接表。

在邻接矩阵中,可以如下表示顶点和边连接关系:

 

说明:

将顶点对应为下标,根据横纵坐标将矩阵中的某一位置值设为1,表示两个顶点向联接。

图示表示的是 无向图的邻接矩阵 ,从中我们可以发现它们的 分布关于斜对角线对称 。

我们在下面将要讨论的是下图的两种遍历方法(基于矩阵的):

 

我们已经说明了我们要用到的是邻接矩阵表示法,那么我首先要来构造图:

矩阵图的数据结构如下表示:

#define MaxVnum 50
typedef double AdjMatrix[MaxVnum][MaxVnum];   //表示一个矩阵,用来存储顶点和边连接关系
typedef struct {
    int vexnum,arcnum;                                                         //顶点的个数,边的个数
    AdjMatrix arcs;                                                                 //图的邻接矩阵
}Graph;
这样我们可以首先来创建上述图,为了方便,我们直接在代码中书写矩阵,而不用每次调试手动输入了

void CreateGraph(Graph &G)
{
    G.vexnum=8;
    G.arcnum=9;
    G.arcs[0][1]=1;
    G.arcs[0][2]=1;
    G.arcs[1][3]=1;
    G.arcs[1][4]=1;
    G.arcs[2][5]=1;
    G.arcs[2][6]=1;
    G.arcs[3][1]=1;
    G.arcs[3][7]=1;
    G.arcs[3][6]=1;
    G.arcs[4][1]=1;
    G.arcs[4][7]=1;
    G.arcs[5][2]=1;
    G.arcs[5][6]=1;
    G.arcs[5][5]=1;
    G.arcs[6][2]=1;
    G.arcs[6][5]=1;
    G.arcs[7][3]=1;
    G.arcs[7][4]=1;
}
这样我们就已经完成了准备工作,我们可以正式来学习我们的两种遍历方式了。

2.深度优先遍历算法
分析深度优先遍历
从图的某个顶点出发, 访问图中的所有顶点 , 且使每个顶点仅被访问一次 。这一过程叫做图的遍历。

深度优先搜索的思想:

①访问顶点v;

②依次从v的未被访问的邻接点出发,对图进行深度优先遍历;直至图中和v有路径相通的顶点都被访问;

③若此时图中尚有顶点未被访问,则从一个未被访问的顶点出发,重新进行深度优先遍历,直到图中所有顶点均被访问过为止。

比如:



在这里为了区分已经访问过的节点和没有访问过的节点,我们引入一个一维数组 bool visited[MaxVnum] 用来表示与下标对应的顶点是否被访问过,

流程:

☐ 首先输出 V1,标记V1的flag=true;

☐ 获得V1的邻接边 [V2 V3],取出V2,标记V2的flag=true;

☐ 获得V2的邻接边[V1 V4 V5],过滤掉已经flag的,取出V4,标记V4的flag=true;

☐ 获得V4的邻接边[V2 V8],过滤掉已经flag的,取出V8,标记V8的flag=true;

☐ 获得V8的邻接边[V4 V5],过滤掉已经flag的,取出V5,标记V5的flag=true;

☐ 此时发现V5的所有邻接边都已经被flag了,所以需要回溯。(左边黑色虚线,回溯到V1,回溯就是下层递归结束往回返)

☐ 

☐ 回溯到V1,在前面取出的是V2,现在取出V3,标记V3的flag=true;

☐ 获得V3的邻接边[V1 V6 V7],过滤掉已经flag的,取出V6,标记V6的flag=true;

☐ 获得V6的邻接边[V3 V7],过滤掉已经flag的,取出V7,标记V7的flag=true;

☐ 此时发现V7的所有邻接边都已经被flag了,所以需要回溯。(右边黑色虚线,回溯到V1,回溯就是下层递归结束往回返)

深度优先搜索的代码
bool visited[MaxVnum];
void DFS(Graph G,int v)
{
    visited[v]= true; //从V开始访问,flag它
    printf("%d",v);    //打印出V
    for(int j=0;j<G.vexnum;j++) 
        if(G.arcs[v][j]==1&&visited[j]== false) //这里可以获得V未访问过的邻接点
            DFS(G,j); //递归调用,如果所有节点都被访问过,就回溯,而不再调用这里的DFS
}

void DFSTraverse(Graph G) {
    for (int v = 0; v < G.vexnum; v++)
        visited[v] = false; //刚开始都没有被访问过

    for (int v = 0; v < G.vexnum; ++v)
        if (visited[v] == false) //从没有访问过的第一个元素来遍历图
            DFS(G, v);
}
3.广度优先搜索算法
分析广度优先遍历
所谓广度,就是 一层一层的,向下遍历,层层堵截 ,还是这幅图,我们如果要是广度优先遍历的话,我们的结果是V1 V2 V3 V4 V5 V6 V7 V8。

算法:深度优先算法和广度优先算法

广度优先搜索的思想:

① 访问顶点vi ;

② 访问vi 的所有未被访问的邻接点w1 ,w2 , …wk ;

③ 依次从这些邻接点(在步骤②中访问的顶点)出发,访问它们的所有未被访问的邻接点; 依此类推,直到图中所有访问过的顶点的邻接点都被访问;

说明:

为实现③,需要保存在步骤②中访问的顶点,而且访问这些顶点的邻接点的顺序为:先保存的顶点,其邻接点先被访问。 这里我们就想到了用标准模板库中的queue队列来实现这种先进现出的服务。

老规矩我们还是走一边流程:

说明:

☐将V1加入队列,取出V1,并标记为true(即已经访问),将其邻接点加进入队列,则 <—[V2 V3]

☐取出V2,并标记为true(即已经访问),将其未访问过的邻接点加进入队列,则 <—[V3 V4 V5]

☐取出V3,并标记为true(即已经访问),将其未访问过的邻接点加进入队列,则 <—[V4 V5 V6 V7]

☐取出V4,并标记为true(即已经访问),将其未访问过的邻接点加进入队列,则 <—[V5 V6 V7 V8]

☐取出V5,并标记为true(即已经访问),因为其邻接点已经加入队列,则 <—[V6 V7 V8]

☐取出V6,并标记为true(即已经访问),将其未访问过的邻接点加进入队列,则 <—[V7 V8]

☐取出V7,并标记为true(即已经访问),将其未访问过的邻接点加进入队列,则 <—[V8]

☐取出V8,并标记为true(即已经访问),将其未访问过的邻接点加进入队列,则 <—[]

广度优先搜索的代码
#include <queue>
using namespace std;
....
void BFSTraverse(Graph G)
{
    for (int v=0;v<G.vexnum;v++) //先将其所有顶点都设为未访问状态
        visited[v]=false;
    queue<int> Q;
    for(int v=0;v<G.vexnum;v++)    
    {
        if(visited[v]==false)   //若该点没有访问
        {
            Q.push(v);                //将其加入到队列中
            visited[v]=true;
            while (!Q.empty())        //只要队列不空,遍历就没有结束
            {
                int t =Q.front();        //取出对头元素
                Q.pop();
                printf(" %d ",t+1);  
                for(int j=0;j<G.vexnum;j++) //将其未访问过的邻接点加进入队列
                    if(G.arcs[t][j]==1&&visited[j]== false)
                    {
                        Q.push(j);
                        visited[j]=true; //在这里要设置true,因为这里该顶点我们已经加入到了队列,为了防止重复加入!
                    }
            }
        }
    }
}
两种算法的复杂度分析
深度优先

数组表示:查找所有顶点的所有邻接点所需时间为O(n 2 ),n为顶点数,算法时间复杂度为O(n 2 )

广度优先

数组表示:查找每个顶点的邻接点所需时间为O(n 2 ),n为顶点数,算法的时间复杂度为O(n 2 )

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